Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的值；

（3）求证：四边形的面积为定值.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)见解析.

【解析】分析：（1）直接根据原题得到，，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出，再求的值.(3) 设，先求出四边形的面积，再化简得到四边形的面积为定值.

详解：（1）设右焦点，因为椭圆的离心率为，所以，①

又因为右焦点到右准线的距离为，所以，②

由①②得，，，，

所以椭圆的标准方程是.

（2）因为，所以，直线的方程为，

由，得，解得（舍）或，

可得，

直线的方程为，令，得，

所以.

（3）设，则，即.

直线的方程为，令，得.

直线的方程为，令，得.

所以四边形的面积

为定值.