Question

已知函数f(x)=

x4+kx2+1

x4+x2+1

(k，x∈R)．则f（x）的最大值与最小值的乘积为

k+2

3

．

Answer 1

分析：利用分子常数法，将函数转化为分数函数，利用分式函数的单调性和基本不等式的性质求函数的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=

x4+kx2+1

x4+x2+1

=1+

(k-1)x2

x4+x2+1

，
当x=0时，f（x）=1，当k=1时，f（x）=1
当x≠0时，f（x）=1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

，
∵x2+

1

x2

+1≥2+1=3，
∴0＜

1

x2+ 1 x2 +1

≤

1

3

，
若k＞1，
则0＜

k-1

x2+ 1 x2 +1

≤

k-1

3

，
∴1＜1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

≤

k+2

3

，
∴此时1≤f(x)≤

k+2

3

．
当k＜1时，

k-1

3

≤

k-1

x2+ 1 x2 +1

＜0，
∴

k+2

3

≤1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

＜1，
此时

k+2

3

≤f(x)≤1．
即当k≥1时，f(x)max=

k+2

3

，f(x)min=1；
当k＜1时，f(x)min=

k+2

3

，f(x)max=1．
因此f(x)min•f(x)min=

k+2

3

．
故答案为：

k+2

3

．

点评：本题主要考查函数的最值的求法，利用分数函数的性质是解决本题的关键，对应对k要进行分类讨论．