题目内容

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）；
（Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较f(
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
)与1的大小，并给与证明．
证明：（Ⅰ）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1）
∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0
即f（x2）＞f（x1）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1?1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0?a≤
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
对x∈[0，1]恒成立，
设y=
4f2(x)-8f(x)+5
4-4f(x)
=1-f(x)+
1
4[1-f(x)]
≥1，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令Sn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
----------①，
则
1
2
Sn=
1
23
+
2
24
+
3
25
+…+
n
2n+2
--------------②，
由①-②得，
1
2
Sn=
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n+1
-
n
2n+2
，即，Sn=
1
2 
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
＜1
所以f(
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
)＜f(1)=1．
练习册系列答案
相关题目
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+时，f（x）＜2x．
已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．
已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
4
，
1
2
]时，f（x）＜2x．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网