Question

已知函数f（x）=lnx-x²+x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大值；
（III）设函数g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），试讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞），对a分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数在区间（0，a]上的最大值；
（Ⅲ）讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数，即讨论方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的个数，该方程为lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需讨论方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的个数．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定义域为（0，+∞）．（1分）
∴f′(x)=

-(2x+1)(x-1)

x

．（2分）
∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞）．
当0＜a≤1时，f（x）在区间（0，a]上单调递增，f（x）的最大值f（x）_max=f（a）=lna-a²+a+2；
当a＞1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，则f（x）在x=1处取得极大值，也即该函数在（0，a]上的最大值，此时f（x）的最大值f（x）_max=f（1）=2；
∴f（x）在区间（0，a]上的最大值f(x)=

lna-a2+a+2，0＜a≤1 2，a＞1

…（8分）
（Ⅲ）讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数，即讨论方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的个数．
该方程为lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需讨论方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的个数，…（9分）
令u（x）=

lnx

x

（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=

lnx

x

（x＞0），u′（x）=

1-lnx

x2

，令u′（x）=0，得x=e，
当x＞e时，u′（x）＜0；当0＜x＜e时，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=

1

e

，
当x→0⁺时，u（x）=

lnx

x

→-∞； 当x→+∞时，

lnx

x

→0，但此时u（x）＞0，且以x轴为渐近线．
如图构造u（x）=

lnx

x

的图象，并作出函数v（x）=x²-2ex+m的图象．
①当m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无根，没有公共点；
②当m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程只有一个根，有一个公共点；
③当m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根，有两个公共点．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点，考查数形结合的数学思想，综合性强，难度大．