Question

17、在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA₁．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A₁N∥平面AB₁M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据∠ACB=90°得到AC⊥CB，再由侧面ACC₁A₁⊥平面ABC根据面面垂直的性质定理可得到BC⊥平面ACC₁A₁，又由AA₁?平面ACC₁A₁，从而可得证．
（II）先连接A₁B，交AB₁于O点，再连接MO，根据O，M分别为A₁B，BN的中点由中位线定理得到OM∥A₁N，从而可根据线面平行的判定定理证明A₁N∥平面AB₁M，得证．

解答：证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACC₁A₁，
又AA₁?平面ACC₁A₁，所以BC⊥AA₁．
（II）连接A₁B，交AB₁于O点，连接MO，
在△A₁BN中，O，M分别为A₁B，BN的中点，所以OM∥A₁N
又OM?平面AB₁M，A₁N不属于平面AB₁M，
所以A₁N∥平面AB₁M．

点评：本题主要考查面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理．考查立体几何的基本定理的应用情况．