Question

定义在R上的偶函数f（x）在区间[1，2]上是增函数．且满足f（x+1）=f（1-x），关于函数f（x）有如下结论：①； ②图象关于直线x=1对称； ③在区间[0，1]上是减函数；④在区间[2，3]上是增函数；其中正确结论的序号是________．

Answer 1

①②③
分析：①赋值，取x=，可得；
②f（x+1）=f（1-x），故图象关于直线x=1对称；
③偶函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，根据图象关于直线x=1对称，可得函数f（x）在[0，1]上是减函数；
④可判断函数是周期为2的函数，根据函数f（x）在[0，1]上是减函数，可知函数在区间[2，3]上是减函数．
故可得结论．
解答：①取x=，∵f（x+1）=f（1-x），∴，∵函数f（x）是偶函数，∴，故①正确；
②f（x+1）=f（1-x），故图象关于直线x=1对称，故②正确；
③偶函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，图象关于直线x=1对称，故函数f（x）在[0，1]上是减函数，故③正确；
④∵f（x+1）=f（1-x），又函数是偶函数，∴f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数是周期为2的函数，∵函数f（x）在[0，1]上是减函数，∴函数在区间[2，3]上是减函数，故④不正确．
故正确的结论是①②③．
故答案为：①②③
点评：本题利用函数的奇偶性与单调性进行判断证明，考查函数的对称性，周期性，命题开放，需要谨慎作答．