Question

【题目】已知函数.

（1）求的极值；

（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极小值，极大值（2）（3）不能平行于轴，详见解析

【解析】

（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得极值；

（2）根据恒成立，分离参数，利用均值不等式求得最值即可；

（3）根据题意，将问题转化为方程是否有根的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可容易判断.

（1）由已知，，令，

得，或，

令，则，，则，

故在区间单调递增，在区间单调递减，

故可得极小值，极大值.

（2），.

由题意，知恒成立，即.

又，，当且仅当时等号成立.

故，所以.

（3）设在的切线平行于轴，

其中

结合题意，

；，

相减得

又，

∴，又，

所以.

设，.

设，

，

所以函数在上单调递增，

因此，，

即.

也就是，，

所以无解.

所以在处的切线不能平行于轴.