Question

如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F．则

FD

•

DE

=

-

3

2

．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是正方形，求得AE的长，再由△ABE∽△FDE，根据相似三角形的对应边成比例，求得EF的大小．再利用另个向量的数量积的定义求得

FD

•

DE

=|

FD

|•|

DE

|cos（π-∠FDE）的值．

解答：解：：∵四边形ABCD是正方形，∴DE=

1

2

CD=

3

2

，∠ADE=90°，AB∥CD，∠FDE=45°．
∴AE=

DE2+AD2

=

9+ 9 4

=

3

2

5

．
∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，
∴BF：DF=AB：DE=2，∴FD=

1

3

BD=

2

．
，

FD

•

DE

=|

FD

|•|

DE

|cos（π-∠FDE）=

2

•

3

2

•（-

2

2

）=-

3

2

，
故答案为-

3

2

．

点评：此题考查两个向量的数量积的定义，相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，属于中档题．