题目内容

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有 $数学公式$ ，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且 $数学公式$ 时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（2分）
$\text{[math]}$ ，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又 $\text{[math]}$ ，…（5分）
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到 $\text{[math]}$ ，…（9分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（11分）
∵ $\text{[math]}$ 恒成立，
设 $\text{[math]}$
则有g_max（x）＜a＜h_min（x），
又 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
∴ $\text{[math]}$ …（13分）
∴ $\text{[math]}$ …（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，- $\text{[math]}$ ）
分析：（Ⅰ）由题设中的定义知，可先得出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的展开式，整理成最简形式，根据题设条件判断出 $\text{[math]}$ 即可证明出结论；
（II）由题意f'（x）为f（x）的导函数，且 $\text{[math]}$ 时，|f'（x）|＜1可得出 $\text{[math]}$ ，由于在 $\text{[math]}$ 时，此不等式恒成立，故可构造出两个函数 $\text{[math]}$ ，将问题转化为g_max（x）＜a＜h_min（x），根据两函数的单调性求出g_max（x）与h_min（x），即可得到a的取值范围．
点评：本题是一个新定义的题，考查了利用新定义证明，利用不等式恒成立求参数的取值范围，理解新定义，将恒成立的问题进行正确转化是解题的关键，利用导数求最值是导数的重要运用，本题用到了转化的思想，函数的思想，是综合性较强的题，可能因为找不到问题的转化方向而无法下手．