Question

设f(x)是定义在［0,1］上的函数,若存在x^*∈(0,1),使得f(x)在［0,x^*］上单调递增,在［x^*,1］上单调递减,则称f(x)为［0,1］上的单峰函数,x^*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.

    对任意的［0,1］上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

(1)证明对任意的x₁、x₂∈(0,1),x₁＜x₂,若f(x₁)≥f(x₂),则(0,x₂)为含峰区间;若f(x₁)≤f(x₂),则(x₁,1)为含峰区间;

(2)对给定的r(0＜r＜0.5),证明存在x₁、x₂∈(0,1),满足x₂-x₁≥2r,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;

(3)选取x₁、x₂∈(0,1),x₁＜x₂,由(1)可确定含峰区间为(0,x₂)或(x₁,1),在所得的含峰区间内选取x₃,由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x₂)的情况下,试确定x₁、x₂、x₃的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

Answer 1

(1)证明：设x^*为f(x)的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在［0,x^*］上单调递增,在［x^*,1］上单调递减.

    当f(x₁)≥f(x₂)时,假设x^*(0,x₂),则x₁＜x₂≤x^*,从而f(x^*)≥f(x₂)＞f(x₁),

    这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾,所以x^*∈(0,x₂),即(0,x₂)是含峰区间;

    当f(x₁)≤f(x₂)时,假设x^*(x₁,1),则x^*≤x₁＜x₂,从而f(x^*)≥f(x₁)＞f(x₂),

    这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾,所以x^*∈(x₁,1),即(x₁,1)是含峰区间.

 (2)证明：由(1)的结论可知:

    当f(x₁)≥f(x₂)时,含峰区间的长度为l₁=x₂;

    当f(x₁)≤f(x₂)时,含峰区间的长度为l₂=1-x₁.

    对于上述两种情况,由题意得

                                                                           ①

    由①得1+x₂-x₁≤1+2r,即x₂-x₁≤2r.

    又因为x₂-x₁≥2r,所以x₂-x₁=2r.                                                    ②

    将②代入①得

x₁≤0.5-r,x₂≥0.5+r.                                                                       ③

    由①和③解得x₁=0.5-r,x₂=0.5+r.

    所以这时含峰区间的长度l₁=l₂=0.5+r,即存在x₁、x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.

(3)解：对先选择的x₁、x₂,x₁＜x₂,由(2)可知x₁+x₂=1.                          ④

    在第一次确定的含峰区间为(0,x₂)的情况下,x₃的取值应满足x₃+x₁=x₂.  ⑤

    由④⑤可得

    当x₁＞x₃时,含峰区间的长度为x₁.

    由条件x₁-x₃≥0.02得x₁-(1-2x₁)≥0.02,从而x₁≥0.34.

    因此,为了将含峰区间的长度缩短到0.34,只要取x₁=0.34,x₂=0.66,x₃=0.32即可.