Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
（1）求点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）求平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA₁方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，求出平面AB₁D₁的法向量

n

，则C₁到平面AB₁D₁的距离d=

| C1A • n |

| n |

，代入即可求出点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）求出平面CDD₁C₁的一个法向量

n1

，结合（1）中平面AB₁D₁的法向量

n

，代入向量夹角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值，进而得到平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角的大小．

解答：解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a）
，向量

C1A

=(-a，-a，-a)，

AD1

=(0，a，a)，

AB1

=(a，0，a)
设

n

=(x，y，z)是平面AB₁D₁的法向量，于是，有

n • AD1 =0 n • AB1 =0

，
即

ay+az=0 ax+az=0

．
令z=-1，得x=1，y=1．
于是平面AB₁D₁的一个法向量是

n

=(1，1，-1)．（5分）
因此，C₁到平面AB₁D₁的距离d=

| C1A • n |

| n |

=

3

3

a（8分）
（2）由（1）知，平面AB₁D₁的一个法向量是

n

=(1，1，-1)．又因AD⊥平面CDD₁C₁，故平面CDD₁C₁的一个法向量是

n1

=(0，1，0)．（10分）
设所求二面角的平面角为θ，则cosθ=

| n • n1 |

| n || n1 |

=

3

3

．（13分）
所以，平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角为arccos

3

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中（1）的关键是求出平面AB₁D₁的法向量

n

，然后代入d=

| C1A • n |

| n |

中求解，（2）的关键是求出平面CDD₁C₁的一个法向量

n1

和平面AB₁D₁的法向量

n

，将二面角问题转化为向量夹角问题．