题目内容

已知函数f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值．
分析：先把函数进行化简，f（x）=2sin（2x+
π
6
）+2
（1）-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤ 
π
2
+2kπ，k∈Z，解不等式可求
（2）把已知代入可得sin(2α+
π
6
)=
1
2
，求解即可．
解答：解：（1）f(x)=
3
sin2x+cos2x+2=2sin(2x+
π
6
)+2．
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ；
得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ；．
∴函数f（x）的单调增区间为[-
π
3
+kπ ，  
π
6
+kπ ]  (k∈Z)．
（2）由f（α）=3，得2sin(2α+
π
6
)+2=3．
∴sin(2α+
π
6
)=
1
2
．
∴2α+
π
6
=
π
6
+2k1π，或2α+
π
6
=
5π
6
+2k2π（k1，k2∈Z），
即α=k1π或α=
π
3
+k2π（k1，k2∈Z）．∵α∈（0，π），
∴α=
π
3
．
点评：本题考查了三角函数的性质：单调性，还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的综合运用，在处理三角函数的单调区间的问题时，常用整体思想，类比正（余）弦函数的性质．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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