Question

已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x₀，0），使得△ABE是等边三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C．
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，则线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE为正三角形，利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k，则x₀可求．

解答：解（1）设点M的坐标为（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

．得P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0，得(3，-

y

2

)•(x，

3y

2

)=0，
所以y²=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-

2(k2-2)

k2

，x1x2=1
所以，线段AB的中点坐标为(

2-k2

k2

，

2

k

)，线段AB的垂直平分线方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，x0=

2

k2

+1，所以，点E的坐标为(

2

k2

+1，0)．
因为△ABE为正三角形，所以，点E(

2

k2

+1，0)到直线AB的距离等于

3

2

|AB|，而|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 1-k2

k2

•

1+k2

．
所以，

2 3 1-k2

k2

=

2 1+k2

|k|

解得k=±

3

2

，所以x0=

11

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，向量的基本性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．