Question

已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).

(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t²－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；

(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。

分析:利用向量知识转化为函数问题求解.

Answer 1

解:（1）法一：由题意知x＝(,),

y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y

故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。

整理得：t³－3t－4k＝0，即k＝t³－t.

法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ),  ∴. ＝2，＝1且a⊥b

∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k²＋t(t²－3)²＝0，∴t³－3t－4k＝0,即k＝t³－t

(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t³－t  ∴k´＝f´(t) ＝t²－,

令k´＜0得－1＜t＜1；令k´＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.