Question

数列{a_n}中，a₁=14，3a_n=3a_n+1+2，则使a_na_n+5＜0成立的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据题设的中的等式整理成a_n+1-a_n=-

2

3

，判断出数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，根据a_na_n+5＜0求得a_n的范围，则n的范围可得．

解答：解：∵3a_n=3a_n+1+2，
∴a_n+1-a_n=-

2

3

，
∴数列{a_n}是以14为首项，-

2

3

为公差的等差数列，
∴a_n=14-（n-1）×

2

3

=

44

3

-

2

3

n，
∵a_na_n+5＜0，即a_n（a_n-

10

3

）＜0
∴0＜a_n＜

10

3

，即0＜

44

3

-

2

3

n＜

10

3

，
解得17＜n＜22
∴n的范围是{18，19，20，21}
故答案为：{18，19，20，21}

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．数列问题常与不等式，函数问题一块考查，应加强这方面的练习．