Question

【题目】已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.

（Ⅰ）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；

（Ⅱ）设， ，

i）当时，若，求的取值范围；

ii）若对任意的，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题(1)根据条件 ，得到 ，解出x的值即可；(2) i）当时，根据及对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围；ii）同i）得到根据方程有解得到关于a的不等关系，解之即可.

试题解析：

（Ⅰ），理由如下：

令，则

，即，

解得： ， 均满足定义域.

当时，

（Ⅱ）当时，

， ,

由题知： 在上有解

，令，则

即

，

从而，原问题等价于或

或

又在上恒成立

，

另解：原问题等价于在上有解

令，

由根的分布知： 或

解得： 或

又，

当或时，经检验仅满足条件

ii)由i)知：对任意， 在上有解

，即

，令，则

则在上有解

令， ，则

，即

由可得： ，令，则

， ， .