Question

已知f（x）是一次函数，且f（0）=3，f（1）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当-2≤x≤1时，函数f（x）+3tx+t＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数是一次函数，则设出其解析式，再由条件代入求解．
（2）当-2≤x≤1时，函数f（x）+3tx+t＞0恒成立，可转化为（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，构造函数g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的图象在-2≤x≤1上是一条线段，因此有

g(-2)＞0 g(1)＞0

⇒

-5t-1＞0 4t+5＞0

，从而
可求实数t的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（2分）
由

f(0)=b=3 f(1)=k+b=5

⇒

b=3 k=2

⇒f(x)=2x+3（6分）
（2）由f（x）+3tx+t＞0在-2≤x≤1上恒成立，
得（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立（8分）
令g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的图象在-2≤x≤1上是一条线段，
只需线段的两端点在x轴的上方（10分）
因此要（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，
只要：

g(-2)＞0 g(1)＞0

⇒

-5t-1＞0 4t+5＞0

（12分）
得：-

5

4

＜t＜-

1

5

（14分）

点评：本题主要考查求函数解析式以及恒成立问题的处理，体现了数形结合的思想和方法．