Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f'（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得c=0，设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，
（2）根据点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数，y=f（x）的图象上，求出a_n的递推关系式，
（Ⅱ）把（1）题中a_n的递推关系式代入b_n，根据裂项相消法求得T_n，最后解得使得得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．
解答：解：（1）易得c=0，设二次函数f（x）=ax²+bx+c，则f'（x）=2ax+b．…（1分）
由于f'（x）=6x-2，得：a=3，b=-2…（2分）
所以f（x）=3x²-2x．…（3分）
（2）由点均在函数y=f（x）的图象上，又f（x）=3x²-2x，
所以．…（4分）
当n≥2时，；…（6分）
当n=1时，．…（7分）
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）…（8分）
（3）由（2）得知=…（9分）
=，…（11分）
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=
=．…（12分）
要使f（x）（[1，e]）成立，需要满足≤a，…（13分）
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．…（14分）
点评：本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．