Question

已知f（x）=x²+ax-1nx，a∈R
（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定确定坐标，与切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导数f′（x）=2x+a-

1

x

=

1

x

（2x²+ax-1），记g（x）=2x²+ax-1，利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，可得2x²+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立，从而可建立不等式组，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）a=0时，f′（x）=2x-

1

x

=

1

x

（2x²-1），∴f′（1）=1
∴f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-x=0，即x-y=0
（2）f′（x）=2x+a-

1

x

=

1

x

（2x²+ax-1），记g（x）=2x²+ax-1，
∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减
∴2x²+ax-1≤0在区间[1，2]上恒成立
∴

g(1)≤0 g(2)≤0

，∴

a≤-1 a≤- 7 2

，
∴a≤-

7

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．