Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=m，a_n+1=2S_n+4ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅰ）设bn=Sn-4n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若an+1≥an(n∈N*)，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+4ⁿ，可变形得S_n+1-4ⁿ⁺¹=3（S_n-4ⁿ），可得数列{b_n}是首项为m-4，公比是3的等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出a_n+1、a_n，利用an+1≥an(n∈N*)，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+4ⁿ，
∴S_n+1-S_n=2S_n+4ⁿ，
∴S_n+1=3S_n+4ⁿ，
∴S_n+1-4ⁿ⁺¹=3（S_n-4ⁿ），
∵bn=Sn-4n，
∴b_n+1=3b_n，
∴数列{b_n}是首项为m-4，公比是3的等比数列，
∴b_n=（m-4）3^n-1；
（Ⅱ）由（I）知，S_n=b_n+4ⁿ，∴S_n=（m-4）3^n-1+4ⁿ，
∴a_n+1=2S_n+4ⁿ=2（m-4）3^n-1+3×4ⁿ，
当n≥2时，a_n=2（m-4）3^n-2+3×4^n-1，
∵an+1≥an(n∈N*)，
∴2（m-4）3^n-1+3×4ⁿ≥2（m-4）3^n-2+3×4^n-1，
∴m-4≥

-9×4n-1

4×3n-2

=-

81

16

•(

4

3

)n，
∴m≥4-

81

16

•(

4

3

)n，
∵n≥2，
∴-(

4

3

)n≤-

16

9

，
∴m≥-5，
∵n=1时，a₂≥a₁，
∴2a₁+4≥a₁，
∴2m+4≥m，
∴m≥-4．
综上所述，m≥-4．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查解不等式，考查学生的计算能力，正确运用数列递推式是关键．