Question

已知正项数列{a_n}满足：a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N⁺）．
（1）求a₁的范围，使得a_n+1＜a_n恒成立；
（2）若a₁=

3

2

，证明a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N⁺，n≥2）；
（3）（理）若a₁=

3

2

，证明：

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得a_n+1-a_n=

1

2

（-a_n+

1

an

），根据a_n+1＜a_n，可得-a_n+

1

an

＜0，由此可求a₁的范围；
（2）利用数学归纳法证明：若a₁=

3

2

，得1＜a₂=

13

12

＜1+

1

23

；假设n=k时成立，即a_k＜1+

1

2k+1

（k∈N₊，k≥2），构造函数f（x）=

1

2

(x+

1

x

)，易知f（x）在（1，+∞）上单调增，从而可知n=k+1时结论成立；
（3）由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），可得

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

，构造函数g（x）=

1- 1 x2

，g（x）在（1，+∞）上单调递增，从而可得

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

＜

2 2n+2+1

＜

1 2n

，由此可证结论．

解答：（1）解：由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得a_n+1-a_n=

1

2

（-a_n+

1

an

），
由a_n+1＜a_n，即-a_n+

1

an

＜0，
所以a_n＞1或a_n＜-1（舍）
所以a₁＞1时，a_n+1＜a_n．
（2）证明：若a₁=

3

2

，得1＜a₂=

13

12

＜1+

1

23

假设n=k时成立，即a_k＜1+

1

2k+1

（k∈N₊，k≥2）；
构造函数f（x）=

1

2

(x+

1

x

)，易知f（x）在（1，+∞）上单调增
则n=k+1时，a_k+1=f（a_k）＜f（1+

1

2k+1

）＜1+

1

2k+2

即a_k+1=f（a_k）＜1+

1

2k+2

由以上归纳可知a_n＜1+

1

2n+1

（n∈N₊，n≥2）；
（3）证明：由a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），得an=an+1+

an+12-1

∴

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

构造函数g（x）=

1- 1 x2

，g（x）在（1，+∞）上单调递增
∴

an

an+1

-1=

1- 1 an+12

＜

2 2n+2+1

＜

1 2n

∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n=（

a1

a2

-1）+（

a2

a3

-1）+（

a3

a4

-1）+…+（

an

an+1

-1）
＜

1 2

+

1 22

+…+

1 2n

=

1 2 [1- 1 2n ]

1- 1 2

＜

1 2

1- 1 2

=

2

+1
∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

-n＜

2

+1．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强．