Question

如果n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx则（1+2x）（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数为

-2

．

Answer 1

分析：根据定积分的计算方法，计算n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx可得n的值，进而将n=4代入（1+2x）（1-x）ⁿ中，再分2种情况讨论其展开式中产生x²项的情况，计算可得答案．

解答：解：根据题意，n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx=

8

π

∫₀^π（

1-cos2x

2

）dx=

8

π

×

1

2

（x-

sin2x

2

）|₀^π=4，
则（1+2x）（1-x）⁴中，x²项产生有2种情况，
①（1+2x）中出常数项，（1-x）⁴中出x²项，x²项的系数为1×C₄²（-1）²，
②（1+2x）与（1-x）⁴中，都出x项，x²项的系数为2×C₄³（-1），
则其展开式中x²的系数为1×C₄²（-1）²+2×C₄³（-1）=-2；
故答案为-2．

点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．