Question

已知数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），且a₃+a₅=14，a₄+a₆=18
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_n（

1

2

）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），知数列{a_n}是等差数列，再由a₃+a₅=14，a₄+a₆=18，利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出a_n．
（2）由a_n=2n-1，知b_n=a_n（

1

2

）ⁿ=（2n-1）•（

1

2

）ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₃+a₅=14，a₄+a₆=18，
∴

a1+2d+a1+4d=14 a1+3d+a1+5d=18

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n（

1

2

）ⁿ=（2n-1）•（

1

2

）ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和
S_n=1×

1

2

+3×（

1

2

）²+5×（

1

2

）³+…+（2n-1）×（

1

2

）ⁿ，①
∴

1

2

Sn=1×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+5×（

1

2

）⁴+…+（2n-1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+2×（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+2×（

1

2

）⁴+…+2×（

1

2

）ⁿ-（2n-1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

1

2

+2×[（

1

2

）²+（

1

2

）³+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）ⁿ]-（2n-1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

1

2

+2×

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（2n-1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

1

2

+1-（

1

2

）^n-1-（2n-1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴Sn=3-(

1

2

)n-2-(2n-1)(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．