Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x+1，
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若f(θ)=

3

5

，求cos2(

π

4

-2θ)的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得函数的最大值和相应的x的值．
（2）把x=θ代入函数解析式，两边平方后利用同角三角函数的基本关系求得sin4θ的值，进而利用诱导公式求得cos2(

π

4

-2θ)的值．

解答：解：（1）f(x)=sin2x-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3

8

π（k∈Z）时，f（x）取得最大值

2

；

（2）由f（θ）=sin2θ-cos2θ，及f(θ)=

3

5

得：sin2θ-cos2θ=

3

5

，
两边平方得1-sin4θ=

9

25

，即sin4θ=

16

25

；
∴cos2(

π

4

-2θ)=cos(

π

2

-4θ)=sin4θ=

16

25

．

点评：本题主要考查了利用两角和公式，二倍角公式和诱导公式化简求值，三角函数的单调性等．考查了基础知识的综合运用．