Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x-ln（x-p）．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数g（x）的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列{a_n}满足：0＜a_n≤3，n∈N^*，且3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015．若不等式f（a₁）+f（a₂）+..+f（a₂₀₁₅）≤g（x）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，可得切线斜率，即可求函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））处的切线方程；
（Ⅱ）求导数，确定函数g（x）的单调性，再分类讨论，即可求出零点个数；
（Ⅲ）证明f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045，由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，即可求实数p的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-6x+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，…（1分）
∴f′（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{9}{10}$，又f（$\frac{1}{3}$）=3，
∴函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切线方程为y-3=-$\frac{9}{10}$（x-$\frac{1}{3}$），
即y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．…（4分）
（Ⅱ）g′（x）=$\frac{x-p-1}{x-p}$（x＞p）
当x∈（p，p+1）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（p，p+1）单调递减；
当x∈（p+1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（p+1，+∞）单调递增；
∴x=p+1时，g_min（x）=g（p+1）=p+1．…（5分）
①当p+1＞0，即p＞-1时，g（x）的零点个数为0；
②当p+1=0，即p=-1时，g（x）的零点个数为1；
③当p+1＜0，即p＜-1时，此时g（p+1）＜0，g（0）=-ln（-p）＞0，x→p，g（x）→+∞
∵g（x）在定义域上连续，由零点存在定理及g（x）的单调性，
知g（x）在（p，p+1）有且只有一个零点，g（x）在（p+1，+∞）有且只有一个零点，
∴p＜-1时，g（x）的零点个数为2．
综上所述，当p＜-1时，g（x）的零点个数为2；p=-1时，g（x）的零点个数为1；p＞-1时，g（x）的零点个数为0．…（9分）
（Ⅲ）∵3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015，当a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$时，有f（$\frac{1}{3}$）=3．
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）=2015×f（$\frac{1}{3}$）=6045．…（10分）
接下来证明：f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045．
由（I）知，函数f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，在点（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切线方程为y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．
而当0＜x≤3时，f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$≤-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$?（x-3）（x-$\frac{1}{3}$）²≤0成立．
∴当0＜a_n≤3，n∈N^*时，有f（a_n）≤-$\frac{9}{10}$a_n+$\frac{33}{10}$=$\frac{3}{10}$（11-3a_n）．…（12分）
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤$\frac{3}{10}$[11×2015-3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）]=6045
∴当a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$时，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）的最大值为6045．
再由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，∴6045≤p+1得p≥6044．
∴p的最小值为6044．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点、单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．