Question

已知函数f（x）=a-

1

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据定义域确定函数，再选择证明方法，不妨用定义法，则先在（0，+∞）上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号．
（2）先将“a-

1

x

＜2x在（1，+∞）上恒成立”转化为“a＜2x+

1

x

，在（1，+∞）上恒成立”则只需a＜（2x+

1

x

）_min即可．

解答：解：（1）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-

1

x

，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0．∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由题意a-

1

x

＜2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+

1

x

，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，∴a的取值范围为（-∞，3]．

点评：本题主要考查函数单调性的证明和应用函数单调性解决恒成立问题，证明时，也用单调性定义也可以用导数法，应用时一般是求函数的最值．