Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A （1，0）．
（Ⅰ）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过直线l₁的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l₁的方程；
（Ⅱ）设直线方程为kx-y-k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l₁的直线方程．

解答：解：（Ⅰ） ①若直线l₁的斜率不存在，则直线l₁：x=1，符合题意．
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得 k=

3

4

．
所求直线l₁的方程是x=1或3x-4y-3=0．
（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
则圆心到直l1的距离d=

|2k-4|

1+k2

又∵三角形CPQ面积S=

1

2

d×2

4-d2

=d

4-d2

=

-(d2-2)2+4

∴当d=

2

时，S取得最小值2．
∴d=

|2k-4|

1+k2

=

2

，k=1或k=7．
∴直线方程为y=x-1，或y=7x-7．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切，考查三角形的面积的最值，考查计算能力，属于中档题．