Question

已知函数g（t）=bt²+at是定义域为[a-3，2a]的奇函数，而函数y=f（x）为R上的偶函数，若对于x≥0时，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂[g（x）+1]则f（-3）+f（4）等于（　　）

• A．log₂6
• B．log₂

  3

  2

• C．1
• D．-1

Answer 1

分析：根据函数g（t）是奇函数，建立条件关系即可求a，b的值，然后利用函数f（x）的奇偶性和条件，得到函数f（x）为周期函数，利用奇偶性和周期性之间的关系代入即可求值．

解答：解：∵函数g（t）=bt²+at是定义域为[a-3，2a]的奇函数，
∴定义域关于原点对称，即a-3+2a=0，解得a=1，
且g（-t）=-g（t），
即bt²-at=-bt²-at，
∴b=-b，解得b=0，
∴g（t）=t．
∵x≥0时，都有f（x+2）=-f（x），
∴x≥0时，都有f（x+4）=f（x），
即此时函数为周期函数周期为4．
∴f（4）=f（0）=log₂[g（0）+1]=log₂1=0，
∵函数y=f（x）为R上的偶函数，
∴f（-3）=f（3）=-f（1）=-log₂[g（1）+1]=-log₂2=-1，
∴f（-3）+f（4）=-1，
故选：D．

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，利用奇偶性的定义和周期性将数值进行转化是解决本题的关键．