Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

（1）求a_n（2）设bn=

2n-1

sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到s_n-s_n-1+2s_n•s_n-1=0进而整理得到{

1

sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列求出S_n，再根据前n项和与通项之间的关系即可求出结论；（注意看第一项能否合并）
（2）先求数列{b_n}的通项公式，再利用乘公比错位相减法求和即可得到答案．

解答：解：因为：an+2Sn•Sn-1=0(n≥2，n∈N*)，a1=

1

2

所以：s_n-s_n-1+2s_n•s_n-1=0⇒

1

sn

-

1

sn-1

=2．
∴{

1

sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列；
∴

1

sn

=2+2（n-1）=2n⇒sn=

1

2n

．
∴n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

．
而a1=

1

2

不适合上式．
∴an=

1 2 (n=1) -1 2n(n-1) (n≥2)

（6分） 
 （2）∵bn=

2n-1

sn

=2n•2^n-1，
∴T_n=2（1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）
∴2T_n=2（1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）．
两式相减可得，-T_n=2（1×2⁰+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ）=2×[

1×(1-2 n)

1-2

-n•2ⁿ]=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（6分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解决问题的关键是根据已知条件构造等差数列；而乘公比错位相减求数列的和是数列部分的重要方法，要注意掌握．