Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=2，

（1）求直线PB与平面PAD所成角;

（2）求二面角A-PB-C的大小.

Answer 1

解:（1）∵PA⊥底面ABCD,∴平面PAD⊥底面ABCD.又∵BA⊥AD,∴BA⊥平面PAD.

∴PB与平面PAD所成角即为∠BPA.在△PAB中，AB=PA，∴∠BPA=.

∴PB与平面PAD所成角即为.

（2）如图，建立空间直角坐标系A—xyz.

∵DA⊥平面PAB,∴平面PAB的法向量为n=(0,1,0).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(1,,0),∴=(2,0,-2)，=(1,,-2).

∴m=(3,,3).cos〈n,m〉=｜｜=｜｜=.

∴二面角APBC为arccos.（用几何法也可做或表示成arcsin）.