Question

直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），为直线与曲线的公共点. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点的极坐标；
（Ⅱ）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

解析试题分析：（Ⅰ）把曲线的参数方程化为的普通方程，将代入整理为关于的二次方程，解出，易得点的极坐标；（Ⅱ）通过坐标变换得出的普通方程，对直线的斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式求得，求出直线的普通方程，易得直线的极坐标方程.
试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为，将代人上式整理得，解得.故点的坐标为，其极坐标为.   5分
（Ⅱ）依题知，坐标变换式为，
故的方程为：，即.
当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则由已知，圆心到直线的距离为，故，
解得.此时，直线的方程为.
故直线的极坐标方程为：或.        10分
考点：直线、圆、椭圆的普通方程与参数方程的转化，直线的极坐标方程.