Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A （-1，

3

2

）；
（1）求满足条件的椭圆方程；
（2）求该椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由椭圆的焦距为2，得c=1，焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF₁|+|AF₂|=4，从而a=2，可得b²=3，可得该椭圆方程；
（2）由（1）的计算结果，结合椭圆的有关基本概念，可得该椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率．

解答：解：（1）∵椭圆的焦点在x轴，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆的焦距为2
∴c=1，焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵椭圆经过点A （-1，

3

2

），
∴根据椭圆的定义，得2a=|AF₁|+|AF₂|=

(-1+1)2+( 3 2 )2

+

(-1-1)2+( 3 2 )2

=4，
可得a=2，所以b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得，椭圆的顶点坐标：（±2，0）和（0，±

3

）；
长轴长为4；短轴长为2

3

；离心率e=

c

a

=

1

2

．

点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的标准方程及它的各个基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．