Question

若x＞y＞0，则

2

x3+

3

xy-y2

的最小值为

10

．

Answer 1

分析：原式可变形为：

2

x3+

3

xy-y2

=

2

x3+

3

y(x-y)

≥

2

x3+

3

( y+x-y 2 )2

=

2

x3+

12

x2

，然后拆项使积为常数，再利用基本不等式可得最小值．

解答：解：因为x＞y＞0，
所以

2

x3+

3

xy-y2

=

2

x3+

3

y(x-y)

≥

2

x3+

3

( y+x-y 2 )2

=

2

x3+

12

x2

，
当且仅当y=x-y，即x=2y①时取等号，
又

2

x3+

12

x2

=

2

2

x3+

2

2

x3+

4

x2

+

4

x2

+

4

x2

≥5

5	2 2 x3• 2 2 x3• 4 x2 • 4 x2 • 4 x2

=5×2=10，
当且仅当

2

2

x3=

4

x2

②时取等号，
由①②得x=

2

，y=

2

2

．
所以

2

x3+

3

xy-y2

的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查运用基本不等式求最值问题，使用条件为：“一正、二定、三相等”，注意多次使用不等式时须保证等号能同时取到．