Question

已知椭圆（a>b>0）的焦距为，离心率为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k²的值。

Answer 1

解：（1）由已知
解得a=2，
所以b²=a²-c²=1
椭圆的方程为。
（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，
由得（4k²+1）x²+8kx=0
所以，
依题意k≠0，
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列
所以|BE|²=|BD||DE|
所以b²=（1- y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，
当y_D>0时，，无解，
当y_D＜0时，，解得
所以，解得
所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，。