Question

14、已知函数f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：不论m为何值，对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值．

解答：解：分3类讨论 ①m=0 时，对于任意x．g（x）=0 而f（x）=2（x+1）²+2值恒正满足题意． ②m＜0 时，对于x＜0 时，g （x）＞0 成立，
只需考虑x≥0时的情况，由于函数f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，
当-4＜m＜4时，△＜0．故-4＜m＜0 满足，经检验当m=-4 时满足条件，
m＜-4时，由于对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）＞0即可，
上式在m＜-4时恒成立，故m＜-4 时条件也满足 ③当m＞0 时，g （x）＞0 在x＞0 时成立，
故只需考虑x≤0 时f（x）＞0即可，
类似②中讨论，0＜m＜4时f（x）＞0 恒成立，
当m≥4时 对称轴恒在右侧．但是f（0）≤0 不满足条件．综上所述m取值范围为m＜4．
故答案为：（-∞，4）

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．