Question

已知函数f(x)=x3-

3

2

x2-6x-2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f(x)=

1

2

b2-b有三个不同的实数解，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数f(x)=x3-

3

2

x2-6x-2的导数，令导数等于0，解得极值点，极值点把实数分成几个区间，列表讨论导数在各区间上的正负，导数为正时得到的x的范围为函数的增区间，导数为负时得到的x的范围为函数的减区间．
（2）由（1）可求出函数的极大值和极小值分别为

3

2

和-12，要使函数f(x)=

1

2

b2-b有三个不同的实数解，只需函数f（x）图象与y=

1

2

b2-b图象有三个不同的交点，所以

1

2

b2-b必须介于f（x）的极大值与极小值之间，这样就得到关于b的不等式，解不等式，求出b的范围即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3x-6，令f′（x）=0及x=-1或x=2
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值 3 2	递减	极小值-12	递增

故f（x）的递增区间是（-∞，-1），（2，+∞），f（x）的递减区间是（-1，2）．
（2）由（1）知，f（x）的极大值f(-1)=

3

2

，极小值f（2）=-12，则f(x)=

1

2

b2-b
有三个不同的实数解等价于-12＜

1

2

b2-b＜

3

2

，
解得-1＜b＜3．
即b的取值范围是（-1，3）．

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及根据极值判断方程的解的个数的问题．