题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足 $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令 $数学公式$ 求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）令 $数学公式$ 证明：2n＜c₁+c₂+… $数学公式$ ．

解：（1）n≥2时， $\text{[math]}$ =n+1
n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2） $\text{[math]}$
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
①-②得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴c₁+c₂+…+c_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴2n＜c₁+c₂+… $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n满足 $\text{[math]}$ （n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合n=1时，a₁=S₁=2，可求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式a_n；
（2）根据数列{b_n}通项的特点，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可证不等式的左边；根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可证不等式的右边．
点评：本题考查的重点是数列与不等式的综合，解题的关键是根据数列{a_n}的前n项和S_n满足 $\text{[math]}$ （n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用错位相减法求数列的和，注意不等式证明中的适当放缩．