Question

已知函数f(x)=

1+ax2

x+b

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域

Answer 1

（1）∵函数f(x)=

1+ax2

x+b

是奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴

1+a(-x)2

-x+b

=-

1+ax2

x+b

，
∵a≠0，∴-x+b=-x-b，∴b=0（3分）
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，∴

1+a

1+b

=3，∵b=0，
∴a=2（6分）

（2）由（1）知f(x)=

1+2x2

x

=2x+

1

x

(x≠0)（7分）
当x＞0时，2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，当且仅当2x=

1

x

，
即x=

2

2

时取等号（10分）
当x＜0时，(-2x)+

1

-x

≥2

(-2x)• 1 -x

=2

2

，∴2x+

1

x

≤-2

2

当且仅当(-2x)=

1

-x

，即x=-

2

2

时取等号（13分）
综上可知函数f（x）的值域为(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)（12分）