Question

6．设数列{a_n}中，a₁=2，若a_n+1=2a_n+1，则通项a_n=-1+3•2^n-1，若a_n+1=2a_n+3ⁿ，则通项a_n=3ⁿ-2^n-1．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2a_n+1变形可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而数列{a_n+1}是以3为首项、2为公比的等比数列，通过对a_n+1=2a_n+3ⁿ变形可知a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），进而数列{a_n-3ⁿ}是以-1为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2+1=3，
∴数列{a_n+1}是以3为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+1=3•2^n-1，
∴a_n=-1+3•2^n-1；
∵a_n+1=2a_n+3ⁿ，
∴a_n+1-3ⁿ⁺¹=2（a_n-3ⁿ），
又∵a₁-3¹=2-3=-1，
∴数列{a_n-3ⁿ}是以-1为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n-3ⁿ=-2^n-1，
∴a_n=3ⁿ-2^n-1；
故答案为：-1+3•2^n-1，3ⁿ-2^n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．