Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(，0)，
(Ⅰ) 求抛物线C的方程；
(Ⅱ)已知直线y=k(x+)与抛物线C交于A、B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；
(Ⅲ)设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆(x-1)²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设抛物线C的方程为，
由，即p=1，
所以抛物线C的方程为。
(Ⅱ)设，由|FA|=2|FB|，得，即， ①
由得，
故， ②
， ③
解①②③构成的方程组得，
又由，即-1＜k＜1，所求得的k适合，
因此所求得的k的值为。
(Ⅲ)设，且b＞c，
∴直线PR的方程为，
∵圆内切于△PRN，由则圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
∴，化简得，
同理可得，
由于，所以b，c为方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
当且仅当x₀=4时取等号，所以△PRN的面积最小值为8。