Question

某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势；现有三种函数模型．①f（x）=pq^x，②f（x）=log_q^x+q，③f（x）=（x-1）（x-q）²+q（其中p，q为正常数，且q＞2）．较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选

 

作为模拟函数；若f（1）=4，f（3）=6，求出所选函数f（x）的解析式

 

．

Answer 1

分析：（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=（x-1）（x-q）²+p为其成绩模拟函数．
（2）由题中条件：f（1）=4，f（3）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式．

解答：解：（1）因为f（x）=pq^x，f（x）=log_q^x+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）²+q中，
f′（x）=3x²-（4q+2）+q²+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=

q+2

3

，f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=（x-1）（x-q）²+p为其成绩模拟函数．
（2）①由f（1）=4，f（3）=6，得

p=4 2(3-q)2 又q＞2

+p=6得

p=4 q=4

f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
故答案为：f（x）=（x-1）（x-q）²+p；f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．