Question

（2010•石家庄二模）已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，求证：

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a(1+a)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，(x∈(0，+∞))，再解出函数的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna+a-b

b-a

=

lnb-lna

b-a

-1=

ln b a

b a -1

•

1

a

-1再由0＜a＜b得出ln

b

a

＜

b

a

-1，代入即可证明出不等式．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，(x∈(0，+∞))
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分
当m＞0时，由f/(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

＞0
则x∈(0，

1

m

)，则f（x）在(0，

1

m

)上单调递增，在(

1

m

，+∞)上单调递减．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；
当m＞0时，f(x)max=f(

1

m

)=ln

1

m

-1+m=m-lnm-1只需m-lnm-1≤0即　….6分
令g（x）=x-lnx-1，
则g/(x)=1-

1

x

，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）_min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna+a-b

b-a

=

lnb-lna

b-a

-1=

ln b a

b a -1

•

1

a

-1
由0＜a＜b得

b

a

＞1，
由（Ⅱ）得：ln

b

a

＜

b

a

-1，则

ln b a

b a -1

•

1

a

-1＜

1

a

-1=

1-a

a

=

1-a2

a(1+a)

＜

1

a(1+a)

，
则原不等式

f(b)-f(a)

b-a

＜

1

a(1+a)

成立．…12分

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的最值，及不等式的证明，考查了转化的思想及推理判断的能力，综合性较强，解题的关键是准确理解题意，对问题进行正确转化，熟练掌握导数运算性质是解题的重点，正确转化问题是解题的难点．