Question

已知函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)时，则下列结论不正确是 ______．
（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

Answer 1

（1）、∵函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)为奇函数
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正确；
（2）、∵函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上单调递增，且值域为（-1，1）
∴函数y=|f（x）|在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
（3）、∵函数f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上单调递增，
∴x₁≠x₂?f（x₁）≠f（x₂），故（3）正确；
（4）、?k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有一个交点
∴?k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）-kx有且只有一个零点
故（4）错误．
故答案：（4）