Question

已知函数f(x)=2x，g(x)=

1

2|x|

+2
（1）求函数 g（x）的值域；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的零点．
（3）当x＜0时，解不等式f（x）+g（x）＞3．

Answer 1

分析：（1）根据函数 g（x）=

1

2|x|

+2，且 2^|x|≥1，可得 2＜

1

2|x|

+2≤3，从而求得函数 g（x）的值域．
（2）分x≥0和x＜0两种情况，分别求得函数h（x）的零点，从而得出结论．
（3）当x＜0时，不等式即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0，求得2^x的范围，即可求得x的范围．

解答：解：（1）∵函数 g（x）=

1

2|x|

+2，而 2^|x|≥1，∴2＜

1

2|x|

+2≤3，
故函数 g（x）的值域为（2，3]．
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）=2^x-

1

2|x|

-2，当x≥0时，h（x）=2^x-

1

2x

-2．
令 h（x）=0 可得2^2x-2•2^x-1=0，解得 2^x=1+

2

，或 2^x=1-

2

（舍去），故x=log2(1+

2

)．
当x＜0时，h（x）=-2，故h（x）无零点．
综上，函数h（x）的零点是 x=log2(1+

2

)．
（3）当x＜0时，0＜2^x＜1，不等式f（x）+g（x）＞3，即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0．
解得 2^x＜

-1- 5

2

（舍去），或 2^x＞

-1+ 5

2

，
综合可得，1＞2^x＞

-1+ 5

2

，故有0＞x＞log2

-1+ 5

2

，故不等式的解集为{x|0＞x＞log2

-1+ 5

2

}．

点评：本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的性质应用，一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，函数的零点的定义，属于中档题．