题目内容
已知z1、z2是非零复数,且|z1+z2|=|z1-z2|,求证:
.
分析：只要证明为纯虚数即可.
证法一：设复数z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),?
由|z1+z2|=|z1-z2|,?
得(a-c)2+(b-d)2=(a+c)2+(b+d)2,?
整理得ac+bd=0,?
而
［(ac+bd)+(bc-ad)i］,?
由ac+bd=0,得
为纯虚数得证.
证法二：设
=a+bi(a、b∈R),?
则z1=z2(a+bi),∴|z1+z2|=|z2||(1+a)+bi|,?
|z1-z2|=|z2||(1-a)+bi|,?
代入|z1+z2|=|z1-z2|,得?
(1+a)2=(1-a)2,?
∴a=0.∴
为纯虚数.
证法三：由|z1+z2|2=|z1-z2|2,?
得(z1+z2)(
)=(z1-z2)(
),?
∴z1
+z2
=-z1
-z2
,?
得z1
=-z2
,?
∴
且
≠0.∴
为纯虚数.
证法四：由|z1+z2|=|z1-z2|得|
+1|=|
-1|,?
由几何意义知
对应的复数在虚轴上,?
∴
为纯虚数.
证法五：设z1、z2、z1+z2在复平面对应的点分别为Z1、Z2、Z3,则四边形OZ1Z2Z3为平行四边形,?
再由|z1+z2|=|z1-z2|知平行四边形为矩形.?
∴OZ1⊥OZ2.∴
=ki(k∈R且k≠0).∴
为纯虚数.
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