Question

（2004•黄埔区一模）当k∈R，k为定值时，函数f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

的最小值为

当k≤1时，为2；当k＞1时，为

k

+

1

k

．

Answer 1

分析：先观察函数的解析式，当k≤1时，利用基本不等式求得函数的最小值；再看k＞1时令t=

x2+k

，然后对f（t）进行求导，判断出函数在[

k

，+∞）上的单调性，进而求得函数的最小值，最后综合答案可得．

解答：解：f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

，
①当k≤1时，

x2+k

+

1

x2+k

≥2，
当且仅当x=±

1-k

时取等号，y_min=2．
②当k＞1时，令t=

x2+k

（t≥

k

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

k

，+∞）上为增函数．
∴y≥f（

k

）=

k+1

k

，等号当t=

k

即x=0时成立，y_min=

k+1

k

．
综上，0＜k≤1时，y_min=2；
k＞1时，y_min=

k+1

k

=

k

+

1

k

．
故答案为：当k≤1时，为2；当k＞1时，为

k

+

1

k

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生函数思想和分类讨论思想的应用和基本不等的灵活应用．