Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）由椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，知|F₁F₂|=4

2

，即c=2

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4

3

，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m．由

y=x+m x 2   12 + y 2   4 =1

得，4

x

2

+6mx+3

m

2

-12=0．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中点为E（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，由此能求出△PAB的面积．

解答：解：（1）∵椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，
且PF₁⊥F₁F₂，且|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，
∴|F₁F₂|=

100 3 - 4 3

=4

2

，∴c=2

2

，
2a=|PF₁|+|PF₂|=4

3

，∴a=2

3

，
又∵b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）设直线l的方程为y=x+m．
由

y=x+m x 2   12 + y 2   4 =1

，得4

x

2

+6mx+3

m

2

-12=0．
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
AB中点为E（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1．
解得m=2．
此时方程①为4

x

2

+12x=0．解得x₁=-3，x₂=0．
所以y₁=-1，y₂=2．所以|AB|=3

2

．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
所以△PAB的面积S=

1

2

|AB|•d=

9

2

．

点评：本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．