Question

（本小题共16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点  在直线上．

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N．求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）又由点M在准线上，得

故，  ……………2分

  从而

所以椭圆方程为……………4分

（2）以OM为直径的圆的方程为

即 

其圆心为,半径 ……………6分

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离 

所以，……………8分

解得

所求圆的方程为 ……………10分

（3）方法一：由平几知：……………11分

直线OM：，直线FN： 

由得……………13分

……………15分

所以线段ON的长为定值．……………16分

方法二、设，则  ……………11分

   ……………13分 

又………15分

所以，为定值……………16分

【解析】略