Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=-2时，判断函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，通过a=-2时，求出函数的导函数，判断函数f（x）的极大值，然后推出函数的零点的个数；
（Ⅱ）通过求解函数的导函数，通过：当a≤0，0＜a＜2，a=2，a＞2，分别通过函数的导数列表，然后求函数f（x）的单调区间．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数的定义域：（0，+∞），
当a=-2时，f′（x）=

1-4x2

2

，
当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
因为f（

1

2

）=-

1

2

-ln2＜0，所以此时在定义域上f（x）＜0，
s所以函数f（x）零点的个数为0．；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(ax-1)(2x-1)

x

，
①当a≤0时，当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
②当0＜a＜2时，
当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

2

，

1

a

）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
③当a=2时，f′（x）=

(2x-1)2

x

≥0，对一切x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时f′（x）=0，函数是单调增函数，单调增区间（0，+∞）
④当a＞2时，
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

a

，

1

2

）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
综上：当a≤0时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

2

），单调减区间是（

1

2

，+∞）．
当0＜a＜2时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞），单调减区间是（

1

2

，

1

a

）．
当a=2时，函数的单调增区间（0，+∞）
当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞），单调减区间是（

1

a

，

1

2

）．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性函数的极值，考查分类讨论以及计算能力．