Question

已知平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于的点P的轨迹为曲线C₁，椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与C₂交于M、N、P、Q四点，当四边形MNPQ面积最大时，求椭圆C₂的方程及此四边形的最大面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点坐标为（x，y），利用平面内与两定点A（2，0），B（-2，0）连线的斜率之积等于，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为，则可设方程为（a＞0），与C₁的方程联立，即可求得四边形的面积，利用配方法，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）设动点坐标为（x，y），则由题意可得，即（x≠±2）
∴C₁的方程为（x≠±2）；
（Ⅱ）椭圆C₂以坐标原点为中心，焦点在y轴上，离心率为，则可设方程为（a＞0）
由可得
∴四边形MNPQ面积为4=2
∴a²=3时，四边形MNPQ面积最大为4，此时椭圆C₂的方程为
点评：本题考查轨迹方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．